在文章正式开始前，先说明本文所述方法必须要用到的基础知识

1、d(sinx)=cosxdx 2、d(cosx)=-sinxdx 3、d(tanx)=sec²xdx=(1/cos²x)dx 4、sin²x+cos²x=1

是的，仅需要这4个非常简单的式子用来作代换，就可以把所有指数为整数的三角函数的积分转化为有理分式的积分，不需要背诵任何其他复杂的积分公式。

现在开始正式讲述。首先，所有纯三角函数的积分的被积函数都可以化成以下形式：

sin^mx/cosⁿx或多个此式之和，其中m，n为整数。

方法的总体思路是在提出一个sin/cos/tan的导数式后，将剩余的被积函数化成仅含该类三角函数的分式或多项式，从而换元转化为有理分式的积分。接下来，我们按m、n的奇偶性来对题目分成三种情况。

第一种情况：m、n一个为奇数一个为偶数。这种情况我们要提出sinx或cosx的导数，并把剩下的被积函数通过sin²x+cos²x=1化为仅含sinx或cosx的形式，下面来看例题

第二种情况：m、n均为偶数。这种情况我们要提出tanx的导数（即sec²x），然后把剩余被积函数化为仅含tanx的式子，下面的例题中提供了两种思路，一是在提出sec²x前先把需要的被积函数化好，二是先提出sec²x，再通过配“1”的方法将分子分母配成齐次式，再约掉cosx，结果是完全一致的。

第三种情况，m、n均为奇数，这种情况就就简单了，只需要提出一个tanx或1/tanx，就可转化为第二种情况

补充：留数法分解有理分式https://zhuanlan.zhihu.com/p/336225471?utm_psn=1840905767617716224